“嚼得菜根，做得大事”这一校训的出处可综合以下信息：

核心出处

该句最早出自明朝思想家洪应明的《菜根谭》。该书通过简洁的格言探讨人生哲理，强调“咬得菜根，百事可做”，倡导耐得住清贫与寂寞，以成就大事。

历史背景

- 清代赵翼在《廿二史札记》中最早提及该句，称李瑞清以此语为两江师范学堂校训。

- 1906年，李瑞清任两江师范学堂监督期间，正式将其定为校训，并以此培养了大批教育人才。

精神内核

该校训与南京大学“诚朴雄伟，励学敦行”的校训并称，共同构成南大精神内核。李瑞清强调“俭朴、勤奋、诚笃”，主张“学有反对而日进”，鼓励学生独立思考、追求卓越。

总结：

这一校训既源于传统文化的积淀，又体现了近代教育家对实践与品德的双重重视，成为南京大学百年学府的精神象征。